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• 2015年高考数学新课标I卷（理科）压轴题（第21题）

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已知函数$f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4},g(x)=-\ln x$

(1)当$a$为何值时，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线;

(2)用$min${$m,n$}表示$m,n$中的最小值，设函数$h(x)=min${$f(x),g(x)$}$(x>0)$，讨论h(x)的零点个数.

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解： （1）$a=-\frac{3}{4}$，略

（2）引理：$min${$m,n$}$=\frac{1}{2}(m+n-|m-n|)$

证明：$当m\geqslant n时，min${$m,n$}$=\frac{1}{2}(m+n-m+n)=n$

　　　$当m < n时，min${$m,n$}$=\frac{1}{2}(m+n+m-n)=m$

故

$h(x)=min${$f(x),g(x)$}$=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=0$

$f(x)+g(x)=|f(x)-g(x)|$

即$f(x)g(x)=0且f(x)+g(x)\geqslant 0$

情形一 $g(x)=0$

显然当且仅当$x=1$时，$g(1)=0$，此时需要满足$f(1)+g(1)=a+\frac{5}{4} \geqslant 0$，即$a\geqslant -\frac{5}{4}$

故当$a \in [-\frac{5}{4},+\infty)$时，$g(x)$在$x=1$处有$1$个零点

情形二 $f(x)=0$

设$f(x_0)=0$，此时有$x_0 ^3 +ax_0+\frac{1}{4}=0$，需满足$f(x_0)+g(x_0)\geqslant 0$ 即$x_0 \leqslant 1$

$此时有a=-\frac{\frac{1}{4}+x_0 ^3}{x_0}$

$令\phi(x)=-\frac{\frac{1}{4}+x^3}{x}$

$则\phi’(x)=\frac{\frac{1}{4}-2x^3}{x^2}$

故$\phi(x)在(0,\frac{1}{2})$上单调递增，在$(\frac{1}{2},1]$上单调递减

而$\phi(0)\rightarrow -\infty ，\phi(\frac{1}{2})=-\frac{3}{4}，\phi(1)=-\frac{5}{4}$

可大致画出$\phi(x)$的图像

当$a \in (-\infty ,-\frac{5}{4})$时，$h(x)$有$1$个零点

当$4a \in (-\frac{5}{4},-\frac{3}{4})$时，h(x)有$2$个零点

当$a=-\frac{3}{4}$时，$h(x)$有$1$个零点

当$a=-\frac{5}{4}$时，$h(x)$有$2$个零点，其中一个零点为$x=1$

综上所述

当$a \in (-\infty,-\frac{5}{4})\bigcup (-\frac{3}{4})$时，h(x)有1个零点

当$a \in (-\frac{5}{4},-\frac{3}{4})$时，$h(x)$有$3$个零点

当$a =-\frac{4}{3}或-\frac{5}{4}$时，$h(x)$有$2$个零点