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算法流程

（1）设要开方的数为$A$，将两两分组，如$7586$写成$75’86$，而$78965$写成$7’89’65$

（2）将第一位开方：即计算$x_1^2<=A_1$，如$75’86$就是要计算$x_1^2<=75$的最大的$x_1$，也就是$8$

然后将$A_1^2$，也就是$64$写下来，相减抄下去，如图所示：

（3）下移两位（普通的除法是下移一位，但在这里需要移两位），然后将当前商乘以$20$，计算$(20x_1+x_2)x_2<=A_2$

如上例中，就是把$8$乘以$20$，然后计算$16A \times A <=1168$，解得$A_max=6$

将$166\times6$的结果写下来相减，如图所示：

（4）重复（3）过程即可，只要你想，你可以不断开下去，当然你可能发现了，越往后计算越复杂

如图所示：

算法原理

我们假设结果是$$P=\sum_{i=0}^{n}10^ia_i $$

那么我们尝试把$P$平方，即$$P^2=\sum_{i=0}^{n} (10^{2i} a^{2i}+ 2\times10^i a_i \sum_{j=i+1}^{n}10^ja_j )$$

$$P^2=\sum_{i=0}^{n} 10^i a^i(10^i a^i + 2 \sum_{j=i+1}^{n}10^ja_j )$$

接下来我们考虑各项的意义：

$10^i a^i$就是当前位置的数

$2 \sum_{j=i+1}^{n}10^ja_j$就是当前位前面的位的累加和乘以2的结果

我们的思想是逐位确定

首先确定第一位，方法是显然的

然后假设后面的位都是$0$，然后按照上面的式子求解最小的符合条件的当前位的值

这样不断地逐位进行确定就可以实现手动开平方