【bzoj3996】线性代数

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我们知道 $(A \times B -C) \times A^T = A \times B \times A^T - C \times A^T$

我们可以考虑有n个物品,每个物品选不选对应A中每个位置是1还是0

那么行向量C可以看做每个物品的代价,而矩阵B可以看做同时选择某两个物品时的收益

那么这个模型就被我们直接分析出来了,网络流走起

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#include<bits/stdc++.h>
#define FILE "read"
#define MAXN 500010
#define INF 1000000000
using namespace std;
struct node{int y,next,v,rel;}e[MAXN<<2];
int n,len,ans,cnt,S,T,Link[MAXN],id[MAXN],level[MAXN];
queue<int>q;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc(){return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;}
inline int read(){
int x=0,f=1; char ch=getc();
while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getc();}
while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getc();}
return x*f;
}
void insert(int x,int y,int v){
e[++len].next=Link[x];Link[x]=len;e[len].y=y;e[len].v=v;e[len].rel=len+1;
e[++len].next=Link[y];Link[y]=len;e[len].y=x;e[len].v=0;e[len].rel=len-1;
}
bool bfs(){
memset(level,-1,sizeof(level));
q.push(S); level[S]=0;
while(!q.empty()){
int x=q.front(); q.pop();
for(int i=Link[x];i;i=e[i].next)
if(level[e[i].y]==-1&&e[i].v){
q.push(e[i].y);
level[e[i].y]=level[x]+1;
}
}
return level[T]>=0;
}
int MAXFLOW(int x,int flow){
if(x==T) return flow;
int d=0,maxflow=0;
for(int i=Link[x];i&&maxflow<flow;i=e[i].next)
if(level[e[i].y]==level[x]+1&&e[i].v)
if(d=MAXFLOW(e[i].y,min(e[i].v,flow-maxflow)))
e[i].v-=d,e[e[i].rel].v+=d,maxflow+=d;
if(!maxflow) level[x]=-1;
return maxflow;
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
n=read(); S=0; T=++cnt;
for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j){
int x=++cnt,v=read(); insert(S,x,v); ans+=v;
if(!id[i]) id[i]=++cnt;
if(!id[j]) id[j]=++cnt;
insert(x,id[i],INF); insert(x,id[j],INF);
}
for(int i=1;i<=n;++i) insert(id[i],T,read());
int d=0; while(bfs()) while(d=MAXFLOW(S,INF)) ans-=d;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

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