新年的不定积分

JJchen老师的新年积分：

∫4035(4sin⁡xcos⁡x+2x+3+x2)(2016cos⁡x+2017sin⁡x+2018xcos⁡x+2019xsin⁡x)2dx\int \frac{4035(4\sin x\cos x+2x+3+x^2)}{(2016\cos x+2017\sin x+2018x\cos x+2019x\sin x)^2}dx

这个问题难度略大，JJchen老师给出了提示：

（1）∫cos⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=sin⁡xcos⁡x+xsin⁡x+C\int \frac{\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+C

（2）∫x2(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=sin⁡x−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡x+C\int \frac{x^2}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx=\frac{\sin{x}-x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+C

（3）∫(1−x4)sin⁡2x+2xcos⁡2x(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx=sin⁡2x+x2cos⁡2xcos⁡2x+x2sin⁡2x+C\int \frac{(1-x^4)\sin{2x}+2x\cos{2x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx=\frac{\sin^2{x}+x^2\cos^2{x}}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}+C

（4）∫−3(x6+1)sin⁡2xcos⁡2x+3x2(1−3sin⁡2xcos⁡2x)(cos⁡3x+x3sin⁡3x)2dx=x3cos⁡3x−sin⁡3xcos⁡3x+x3sin⁡3x+C\int \frac{-3(x^6+1)\sin^2{x}\cos^2{x}+3x^2(1-3\sin^2{x}\cos^2{x})}{(\cos^3{x}+x^3\sin^3{x})^2}dx=\frac{x^3\cos^3{x}-\sin^3{x}}{\cos^3{x}+x^3\sin^3{x}}+C

（5）∫x2+2x+3+4sin⁡xcos⁡x(cos⁡x+2sin⁡x+3xcos⁡x+4xsin⁡x)2dx=(x−1)sin⁡x−2cos⁡x(12x+6)sin⁡x+(9x+3)cos⁡x+C\int \frac{x^2+2x+3+4\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}+2\sin{x}+3x\cos{x}+4x\sin{x})^2}dx=\frac{(x-1)\sin{x}-2\cos{x}}{(12x+6)\sin{x}+(9x+3)\cos{x}}+C

前两个积分的破解方法JJchen老师已经给出：

（1）注意到 d(1cos⁡x+xsin⁡x)=−xcos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)2d(\frac{1}{\cos{x}+x\sin{x}})=-\frac{x\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}，构造一波得到

∫cos⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=∫cos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)−xcos⁡xsin⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=∫cos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)dx−∫xsin⁡xcos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=∫cos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)dx+∫sin⁡xd(1cos⁡x+xsin⁡x)=∫cos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)dx+sin⁡xsin⁡x+cos⁡x−∫cos⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)dx=sin⁡xsin⁡x+cos⁡x+C\begin{aligned}\int \frac{\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx&=\int \frac{\cos{x}(\cos{x}+x\sin{x})-x\cos{x}\sin{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx-\int \frac{x\sin{x}\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx+\int \sin{x}d(\frac{1}{\cos{x}+x\sin{x}})\\&=\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx+\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}-\int \frac{\cos{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})}dx\\&=\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}+C\end{aligned}

（2）我们同样构造与 xcos⁡xx\cos{x} 有关的项得到

∫x2(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=∫x2cos⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx+∫x2sin⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=−∫xcos⁡xd(1cos⁡x+xsin⁡x)+∫x2sin⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡x+∫cos⁡x−xsin⁡xcos⁡x+xsin⁡xx2sin⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡x+∫cos⁡2x(cos⁡x+xsin⁡x)2dx=−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡x+sin⁡xsin⁡x+cos⁡x+C\begin{aligned}\int \frac{x^2}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx&=\int \frac{x^2\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx+\int \frac{x^2\sin^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\int x\cos{x}d(\frac{1}{\cos{x}+x\sin{x}})+\int \frac{x^2\sin^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\frac{x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+\int \frac{\cos{x}-x\sin{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}\frac{x^2\sin^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\frac{x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+\int\frac{\cos^2{x}}{(\cos{x}+x\sin{x})^2}dx\\&=-\frac{x\cos{x}}{\cos{x}+x\sin{x}}+\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}+C\end{aligned}

以下为Chty_syq的独立研究成果

（3）注意到 d(1cos⁡2x+x2sin⁡2x)=2(1−x2)sin⁡xcos⁡x−2xsin⁡2x(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2d(\frac{1}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}})=\frac{2(1-x^2)\sin{x}\cos{x}-2x\sin^2{x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}，构造相关项得到

∫(1−x4)sin⁡2x+2xcos⁡2x(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx=∫2(1−x2)(1+x2)sin⁡xcos⁡x+2x−4xsin⁡2x(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx=∫(1+x2)[2(1−x2)sin⁡xcos⁡x−2xsin⁡2x](cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx+∫2x(x2sin⁡2x+cos⁡2x)(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx=∫(1+x2)d(1cos⁡2x+x2sin⁡2x)+∫2x(x2sin⁡2x+cos⁡2x)(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx=1+x2cos⁡2x+x2sin⁡2x−∫2x(x2sin⁡2x+cos⁡2x)(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx+∫2x(x2sin⁡2x+cos⁡2x)(cos⁡2x+x2sin⁡2x)2dx=1+x2cos⁡2x+x2sin⁡2x+C\begin{aligned}\int \frac{(1-x^4)\sin{2x}+2x\cos{2x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx&=\int\frac{2(1-x^2)(1+x^2)\sin{x}\cos{x}+2x-4x\sin^2{x}}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\int\frac{(1+x^2)[2(1-x^2)\sin{x}\cos{x}-2x\sin^2{x}]}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx+\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\int (1+x^2)d(\frac{1}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}})+\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\frac{1+x^2}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}-\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx+\int\frac{2x(x^2\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(\cos^2{x}+x^2\sin^2{x})^2}dx\\&=\frac{1+x^2}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}+C\end{aligned}

注意到 1+x2cos⁡2x+x2sin⁡2x−1=sin⁡2x+x2cos⁡2xcos⁡2x+x2sin⁡2x\frac{1+x^2}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}-1=\frac{\sin^2{x}+x^2\cos^2{x}}{\cos^2{x}+x^2\sin^2{x}}，所以该解与题中解等价

做到这里方法已经很明显了，我们求出分母的微分，然后想办法构造分子，利用分部积分把后面的积分抵消掉

然而 (4)(5)(4)(5) 的破解博主没能完成，留坑