第三章 Farey级数

1、The definition and property of Farey series(法里序列的定义与性质)

本章我们将考虑有关 vulgar fractions(真分数) 的性质

分数可以看成两个整数的相除关系，所以分数的性质大多体现了整数的性质

Farey 序列 Fn\mathfrak{F}_n 表示将 [0,1][0,1] 之间的分母不超过 nn 的所有最简分数按数值升序排列得到的序列，例如：

F5=01,15,14,13,25,12,35,23,34,45,11\mathfrak{F}_5=\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}

根据定义，分数 hk∈Fn\frac{h}{k}\in \mathfrak{F}_n 的条件是

0≤h≤k≤n,(h,k)=10\leq h\leq k\leq n,\quad (h,k)=1

Farey 序列最基本的性质如下：

Theorem 28
如果 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 是 Fn\mathfrak{F}_n 中相邻的两项，那么有
kh′−hk′=1kh'-hk'=1

Theorem 29
如果 hk,h′′k′′,h′k′\frac{h}{k},\frac{h''}{k''},\frac{h'}{k'} 是 Fn\mathfrak{F}_n 中相邻的三项，那么有
h′′k′′=h+h′k+k′\frac{h''}{k''}=\frac{h+h'}{k+k'}

我们随后会证明这两个定理是等价的，并且给出它们的三个证明

在此之前，我们先来证明两个关于 Fn\mathfrak{F}_n 的更为简单的性质

Theorem 30
如果 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 是 Fn\mathfrak{F}_n 中相邻的两项，那么有
k+k′>nk+k'>n

我们发现

hk<h+h′k+k′<h′k′\frac{h}{k}<\frac{h+h'}{k+k'}<\frac{h'}{k'}

如果 k+k′≤nk+k'\leq n，那么这两项之间存在另一个数，不可能相邻，证毕

Theorem 31
Fn（n>1）\mathfrak{F}_n（n>1） 中没有两个相邻的数拥有相同的分母

假设 hk,h′k（k>1）\frac{h}{k},\frac{h'}{k}（k>1） 是相邻的两项，那么 h+1≤h′<kh+1\leq h'<k，故有

hk<hk−1<h+1k≤h′k\frac{h}{k}<\frac{h}{k-1}<\frac{h+1}{k}\leq\frac{h'}{k}

那么 hk−1\frac{h}{k-1} 在两项之间，与相邻矛盾，证毕

2、The equivalence between Theorem 28 and 29(两定理间的等价性)

我们现在来证明 Theorem 28 和 Theorem 29 的等价性

（1）Theorem 28 ⇒\Rightarrow Theorem 29

对于 Fn\mathfrak{F}_n 中相邻的三项 hk,h′′k′′,h′k′\frac{h}{k},\frac{h''}{k''},\frac{h'}{k'}，根据 Theorem 28，我们有

{kh′′−hk′′=1k′′h′−h′′k′=1⇒{h′′=h+h′kh′−hk′k′′=k+k′kh′−hk′\left\{\begin{matrix}kh''-hk''=1\\ k''h'-h''k'=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h''=\frac{h+h'}{kh'-hk'}\\ k''=\frac{k+k'}{kh'-hk'}\end{matrix}\right.

相除即得到 Theorem 29

（2）Theorem 29 ⇒\Rightarrow Theorem 28

我们假设 Theorem 28 对于 Fn−1\mathfrak{F}_{n-1} 成立，且有相邻的两项 hk,h′k′∈Fn−1\frac{h}{k},\frac{h'}{k'}\in\mathfrak{F}_{n-1}

那么 Fn\mathfrak{F}_{n} 相当于在 Fn−1\mathfrak{F}_{n-1} 中插入了

1n,2n,⋯ ,n−1n\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{n-1}{n}

且由 Theorem 31，hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 之间最多插入了一个数

如果没有插入数，那么不改变原有的性质，Theorem 28 照样成立

如果插入了数，不妨设这个数为 h′′k′′（k′′=n）\frac{h''}{k''}（k''=n），由 Theorem 29 ，

h′′k′′=h+h′k+k′\frac{h''}{k''}=\frac{h+h'}{k+k'}

不妨设

{h′′=λ(h+h′)k′′=λ(k+k′)（λ为整数）\left\{\begin{matrix}h''=\lambda (h+h')\\ k''=\lambda (k+k')\end{matrix}\right.（\lambda 为整数）

由 Theorem 30，k′+k>n−1k'+k>n-1，故

λ=k′′k′+k≤nn=1\lambda=\frac{k''}{k'+k}\leq\frac{n}{n}=1

所以 λ=1\lambda=1，即

{h′′=h+h′k′′=k+k′\left\{\begin{matrix}h''=h+h'\\ k''=k+k'\end{matrix}\right.

因此

kh′′−hk′′=k(h+h′)−h(k+k′)=kh′−hk′=1kh''-hk''=k(h+h')-h(k+k')=kh'-hk'=1

k′′h′−h′′k′=h′(k+k′)−k′(h+h′)=kh′−hk′=1k''h'-h''k'=h'(k+k')-k'(h+h')=kh'-hk'=1

由数学归纳法即可得证

3、First proof of the Theorems

我们沿用上面的方法，使用数学归纳法来证明 Theorem 28

当 n=1n=1 时，即对 F1\mathfrak{F}_1 定理显然成立

假设定理对 Fn−1\mathfrak{F}_{n-1} 成立，假设 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 是 Fn−1\mathfrak{F}_{n-1} 中相邻的两项

且 h′′k′′\frac{h''}{k''} 是生成 Fn\mathfrak{F}_{n} 时插入这两项之间的分数，设

{r=kh′′−hk′′>0s=k′′h′−h′′k′>0\left\{\begin{matrix}r=kh''-hk''>0\\ s=k''h'-h''k'>0\end{matrix}\right.

结合 kh′−hk′=1kh'-hk'=1 解出

{h′′=sh+rh′k′′=sk+rk′\left\{\begin{matrix}h''=sh+rh'\\k''=sk+rk'\end{matrix}\right.

并且由于 (h′′,k′′)=1(h'',k'')=1，所以 (r,s)=1(r,s)=1

考虑由下列分数组成的集合 SS：

HK=μh+λh′μk+λk′\frac{H}{K}=\frac{\mu h+\lambda h'}{\mu k+\lambda k'}

这里 λ,μ\lambda,\mu 是正整数且 (λ,μ)=1(\lambda,\mu)=1，显然 h′′k′′∈S\frac{h''}{k''}\in S，且 SS 中的每一个分数都在 (hk,h′k′)(\frac{h}{k},\frac{h'}{k'}) 之间

由于

{k(μh+λh′)−h(μk+λk′)=λh′(μk+λk′)−k′(μh+λh′)=μ\left\{\begin{matrix}k(\mu h+\lambda h')-h(\mu k+\lambda k')=\lambda\\h'(\mu k+\lambda k')-k'(\mu h+\lambda h')=\mu \end{matrix}\right.

根据 Theorem 25 可知

(H,K)∣λ,(H,K)∣μ(H,K)|\lambda,\quad (H,K)|\mu

而 (λ,μ)=1(\lambda,\mu)=1，故 (H,K)=1(H,K)=1，即 SS 中的所有分数都是最简分数

原文中最简分数的英文表述（令我费解了好久）：The fraction is in its lowest terms

因此 HK\frac{H}{K} 首次出现是在 FK\mathfrak{F}_{K} 中，故 SS 中的分数按出现顺序排序前三项为

hk,h′k′,h+h′k+k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'},\frac{h+h'}{k+k'}

所以在 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 之间的数必为 h+h′k+k′\frac{h+h'}{k+k'}，这样就证明了 Theorem 29，证毕

4、Second proof of the Theorems

下面我们介绍一种不是归纳性质的证明方法

通过该方法，我们可以能解决求 hk\frac{h}{k} 在 Fn\mathfrak{F}_n 中的后继（后面一项）的方法

设 hk∈Fn\frac{h}{k}\in \mathfrak{F}_n，由于 (h,k)=1(h,k)=1，根据 Theorem 25，方程

kx−hy=1kx-hy=1

有整数解，若 x0,y0x_0,y_0 是该方程的解，那么

x0+rh,y0+rk（r∈Z）x_0+rh,\quad y_0+rk（r\in Z）

也是该方程的解，我们可以钦定一个 rr 值使得

n−k<y0+rk≤nn-k<y_0+rk\leq n

因此方程存在一个解 (x,y)(x,y) 满足

(x,y)=1,0≤n−k<y≤n(x,y)=1,\quad 0\leq n-k <y\leq n

由于 xy\frac{x}{y} 是最简分数，且 y≤ny\leq n，因此 xy∈Fn\frac{x}{y}\in \mathfrak{F}_n，且有

xy=1+hyky=hk+1ky>hk\frac{x}{y}=\frac{1+hy}{ky}=\frac{h}{k}+\frac{1}{ky}>\frac{h}{k}

所以 xy\frac{x}{y} 在 Fn\mathfrak{F}_n 中的出现位置在 hk\frac{h}{k} 之后

假设 xy\frac{x}{y} 不是我们所求的后继 h′k′\frac{h'}{k'}，那么 xy\frac{x}{y} 必在 h′k′\frac{h'}{k'}之后，故有

xy−h′k′=k′x−h′yk′y≥1k′y\frac{x}{y}-\frac{h'}{k'}=\frac{k'x-h'y}{k'y}\geq \frac{1}{k'y}

h′k′−hk=kh′−hk′kk′≥1kk′\frac{h'}{k'}-\frac{h}{k}=\frac{kh'-hk'}{kk'}\geq \frac{1}{kk'}

因此

1ky=xy−hk≥1k′y+1kk′=k+ykk′y>nkk′y≥1ky\frac{1}{ky}=\frac{x}{y}-\frac{h}{k}\geq\frac{1}{k'y}+\frac{1}{kk'}=\frac{k+y}{kk'y}>\frac{n}{kk'y}\geq \frac{1}{ky}

这样就导出了一个矛盾式，所以假设不成立，即我们求出的 xy\frac{x}{y} 就是 hk\frac{h}{k} 在 Fn\mathfrak{F}_n 中的后继

（感觉我可以把这个出到 OI/ACM 中，又是一道毒瘤题）

5、The integral lattice(整数网格)

我们的第三种证明是基于一个重要的几何学方法

如下图所示：

假设我们在平面中给出了原点 OO，以及不与 OO 三点共线的两点 P,QP,Q

我们作平行四边形 OPQROPQR，把它的边无限延长，然后作等距的平行线，这样整个平面被分割成了无穷多个相同的平行四边形

我们把这样的图形称为 lattice(网格)

一个网格是由若干条直线组成的图形，它确定了若干个点，即直线两两确定的交点

这些交点组成的系统称为 point-lattice(点阵)，点阵中的点我们称为 lattice point(格点)

两个不同的网格可以确定同一个点阵，例如在上图中，网格 OP,OQOP,OQ 与网格 OP,OROP,OR 确定的点阵是相同的

确定同一个点阵的两个网格我们称之为 equivalent(等价)

特别地，如果 OP⊥OPOP\perp OP 且 OP=OQ=1OP=OQ=1，即平面被分割成了单位正方形

那么这种网格称为 fundamental lattice(常用网格)，记做 LL

常用网格确定的点阵称为 fundamental point-lattice(常用点阵)，记做 Λ\Lambda

值得一提的是，网格上每一个点都可以看成原点，原点的选择与网格的性质是独立的

确定原点之后，我们可以写出点阵中每一个格点的坐标，它们都是整数

点阵可以看作数或向量的运算系统，这个系统满足模系统的要求

如果 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2) 是点阵中的点，那么点阵中其它的点 (x,y)(x,y) 可以表示为

{x=mx1+nx2y=my1+ny2（m,n∈Z）\left\{\begin{matrix}x=mx_1+nx_2\\ y=my_1+ny_2\end{matrix}\right.（m,n\in Z）

6、Properties of the fundamental lattice(常用网格的性质)

（1）我们考虑变换

x′=ax+by,y′=cx+dyx'=ax+by,\quad y'=cx+dy

其中 a,b,c,z∈Z且ad−bc≠0a,b,c,z\in Z且ad-bc\neq 0，那么 Λ\Lambda 中的点 (x,y)(x,y) 变换为了 Λ\Lambda 的另一个点 (x′,y′)(x',y')

我们解出 x,yx,y 得到

x=dx′−by′ad−bc,y=−cx′−ay′ad−bcx=\frac{dx'-by'}{ad-bc},\quad y=-\frac{cx'-ay'}{ad-bc}

若

Δ=∣abcd∣=ad−bc=±1\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc=\pm 1

那么所有 Λ\Lambda 中的点 (x′,y′)(x',y') 都能由 (x,y)(x,y) 变换得到

也就是说，变换前的点 (x,y)(x,y) 与变换后的点 (x′,y′)(x',y') 一一对应

我们把这样的情况称为 Λ\Lambda 的自身变换

反过来，如果 Λ\Lambda 的变换为自身变换，那么每一个 (x′,y′)(x',y') 必须有一个 (x,y)(x,y) 与之对应

取 (x′,y′)(x',y') 的两个特殊点 (1,0),(0,1)(1,0),(0,1)，得到

Δ∣a,Δ∣b,Δ∣c,Δ∣d\Delta|a,\quad\Delta|b,\quad\Delta|c,\quad\Delta|d

故有

Δ2∣ad−bc,Δ2∣Δ\Delta^2|ad-bc,\quad\Delta^2|\Delta

因此 Δ=±1\Delta=\pm 1，这样我们就得到了下述定理

Theorem 32
Λ\Lambda 的变换为自身变换的充要条件是
Δ=ad−bc=±1\Delta=ad-bc=\pm 1

我们把这样的变换称为 unimodular(单模变换)

（2）考虑 Λ\Lambda 中的不与原点共线的两点 P(a,c),Q(b,d)P(a,c),Q(b,d)，那么 OP,OQOP,OQ 确定的平行四边形的面积为

δ=∣ad−bc∣\delta=|ad-bc|

考虑变换

x′=ax+by,y′=cx+dyx'=ax+by,\quad y'=cx+dy

变换后的网格就是由 OP,OQOP,OQ 生成的网格

变换后的 Λ′\Lambda' 中的点为 (x′,y′)(x',y')，那么 Λ=Λ′\Lambda=\Lambda' 的条件就是 δ=1\delta=1

Theorem 33
由 OP,OQOP,OQ 生成的网格 L′L' 与 常用网格 LL 等价的充要条件是 OP,OQOP,OQ 确定的平行四边形面积 δ=1\delta=1

（3）设 P∈ΛP\in \Lambda，若 OPOP 间不存在其它的 Λ\Lambda 中的点，那么称 PP 为 visible(可视的)

显然如果 (x,y)(x,y) 是可视的点，那么 xy\frac{x}{y} 必定是最简分数，即 (x,y)=1(x,y)=1

Theorem 34
设 P,QP,Q 是 Λ\Lambda 中的两个可视的点，OP,OQOP,OQ 确定的平行四边形 JJ 的面积为 δ\delta
（1）若 δ=1\delta=1，则 JJ 内部不存在 Λ\Lambda 中的点
（2）若 δ>1\delta>1，则 JJ 内部至少有一个 Λ\Lambda 中的点，如果该点不是对角线的交点，则至少存在两个

这几种情况如下图所示：

设 OP,OQOP,OQ 生成的网格为 L′L'，对应的点阵为 Λ′\Lambda'

若 δ=1\delta=1，L′L' 与 LL 等价，Λ=Λ′\Lambda=\Lambda'，故 JJ 内部不存在点

若 δ>1\delta>1，L′L' 与 LL 不等价，Λ′\Lambda' 中的点少于 Λ\Lambda，故 JJ 内部至少存在一点，若该点不是对角线交点，则三角形 OPQOPQ 与 PQRPQR 内部各有一点

7、Third proof of the Theorems

设分数 hk∈Fn\frac{h}{k}\in \mathfrak{F}_n，那么

0≤k≤h≤n,(h,k)=10\leq k\leq h\leq n,\quad (h,k)=1

那么 hk\frac{h}{k} 表示 Λ\Lambda 中区域 {y≥0x≤yx≤n\left\{\begin{matrix}y\geq 0\\ x\leq y\\x\leq n\end{matrix}\right. 中的可视点

我们从原点 OO 作一条射线，将其从 xx 轴开始逆时针旋转

射线的斜率就是射线上的点表示的分数的值，逆时针旋转保证了射线斜率递增

故射线扫过的点表示的分数值是递增的

当射线先后扫过两个可视点 (k,h),(k′,h′)(k,h),(k',h') 时，这两个分数在 Fn\mathfrak{F}_n 中是相邻的

且确定的平行四边形内部没有可视点，故由 Theorem 34

δ=kh′−hk′=1\delta=kh'-hk'=1

证毕，这种证明方法将 Fn\mathfrak{F}_n 用几何图形直观地表示了出来，更显本质

8、The Farey dissection of the continuum(邻项的法里分割)

我们常用圆环来表示实数，而不是直线，目的是消除首位关系的影响

在圆环上确定一个原点 OO 表示 00，用点 PxP_x 表示实数 xx，点到原点的距离表示数的大小

现在我们考虑法里序列 Fn\mathfrak{F}_n，以及所有邻项 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 的 mediant(中间值)

μ=h+h′k+k′\mu=\frac{h+h'}{k+k'}

第一个中间值和最后一个中间值分别为

0+11+n=1n+1,n−1+1n+1=nn+1\frac{0+1}{1+n}=\frac{1}{n+1},\quad \frac{n-1+1}{n+1}=\frac{n}{n+1}

我们现在用点 PμP_{\mu} 表示中间值 μ\mu，那么圆环被这些点分割成了若干条弧

这些弧我们称为 Farey arcs(法里弧)

每一段法里弧表示 Fn\mathfrak{F}_n 的一项，该项在弧上的位置称为 Farey point(法里点)

显然，弧 (nn+1,1n+1)(\frac{n}{n+1},\frac{1}{n+1}) 包含了法里点 OO

这个分割法里弧的过程我们就称为 Farey dissection(法里分割)

现在我们假设 n>1n>1，PhkP_{\frac{h}{k}} 是一个法里点，且 h1k1,h2k2\frac{h_1}{k_1},\frac{h_2}{k_2} 分别是其在 Fn\mathfrak{F}_n 中的前一项与后一项

那么包含 PhkP_{\frac{h}{k}} 的法里弧被 PhkP_{\frac{h}{k}} 分成了两部分，长度分别为

{D1=hk−h+h1k+k1=1k(k+k1)D2=h+h2k+k2−hk=1k(k+k2)\left\{\begin{matrix}D_1=\frac{h}{k}-\frac{h+h_1}{k+k_1}=\frac{1}{k(k+k_1)}\\ D_2=\frac{h+h_2}{k+k_2}-\frac{h}{k}=\frac{1}{k(k+k_2)}\end{matrix}\right.

由 Theorem 31 与 Theorem 30 可知

n<k+k1<2nn<k+k_1<2n

因此我们得到了下述定理

Theorem 35
对于 Fn（n>1）\mathfrak{F}_n（n>1） 的法里分割，包含 hk\frac{h}{k} 的法里弧被该法里点分成的两部分长度在 1k(2n−1)\frac{1}{k(2n-1)} 与 1k(n+1)\frac{1}{k(n+1)} 之间

事实上，法里分割的重要性在于其拥有某种 uniformity(统一性)

接下来，我们用法里分割来证明一个实数有理估值方面的定理，而且我们在第十一章会继续深入探讨这个话题

Theorem 36
若 ξ\xi 是任一实数，nn 是正整数，那么存在一个最简分数 hk\frac{h}{k} 满足
0<k≤n,∣ξ−hk∣≤1k(n+1)0<k\leq n,\quad |\xi-\frac{h}{k}|\leq \frac{1}{k(n+1)}

不妨设 ξ∈(0,1)\xi\in (0,1)，那么 ξ\xi 位于 Fn\mathfrak{F}_n 中的两项 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 之间

即 ξ\xi 位于下面两区间之一：

(hk,h+h′k+k′),(h+h′k+k′,h′k′)(\frac{h}{k},\frac{h+h'}{k+k'}),\quad (\frac{h+h'}{k+k'},\frac{h'}{k'})

这两个区间都是一段法里弧被法里点分成的两部分中的一个

因此根据 Theorem 35，其区间长度都小于 1k(n+1)\frac{1}{k(n+1)}，所以分数 hk,h′k′\frac{h}{k},\frac{h'}{k'} 中必有一个满足要求

9、A theorem of Minkowski(闵可夫斯基定理)

如果 P,Q∈ΛP,Q\in \Lambda，P′,Q′P',Q' 是P,QP,Q 关于原点的对称点

那么 OP,OP′OP,OP' 与 OQ,OQ′OQ,OQ' 两两生成了四个平行四边形，我们把这四个平行四边形合在一起组成了一个大平行四边形 KK，其中心是原点 OO，面积是 4δ4\delta

若 δ=1\delta=1，那么 KK 内部除了 OO 以外没有其它 Λ\Lambda 中的点

若 δ>1\delta>1，那么 KK 内部除了 OO 以外存在其它 Λ\Lambda 中的点

这是闵可夫斯基定理的一个特殊情况，事实上，上述内容不仅对于平行四边形成立，对于任何关于原点对称的 convex region(凸区域) 都成立

想必诸位读者看到凸区域这个名词会一脸懵逼，我们先来介绍一点基础知识

满足下列条件的点集 RR 称为 open region(开区域)：

（1）若 P∈RP\in R，那么与 PP 充分近的点都在 RR 内

（2）RR 中的任意两点都能被一条完全在 RR 内的连续曲线连接起来

从定义可以看出，圆的内部区域以及平行四边形的内部区域都是开区域

RR 的 boundary(边界) CC 指的是 RR 中的极限点组成的点集，但是这些点本身不属于 RR

因此，圆的边界就是圆周

开区域 RR 加上它的边界组成的点集就是 closed region(闭区域)，记做 R∗R^{*}

注意：以上的定义中我们仅考虑有界区域

convex region(凸区域) 的定义有两种，它们是等价的

（1）如果 RR 中的所有弦（连接 RR 内两点的线段）上的任意一点都属于 RR，那么 RR 就是凸区域

（2）如果 RR 边界上的所有点都能引一条直线 ll 使得 RR 仅位于直线 ll 的一侧，那么 RR 就是凸区域

由定义可知，圆和平行四边形都是凸区域

证明两种定义的等价性并不困难

（1）若 RR 是由第二种定义确定的凸区域

假设 P,Q∈RP,Q\in R，且直线 P,QP,Q 上一点 S∉RS\notin R，那么边界上存在一点 TT 在线段 PSPS 上

由于过 TT 存在直线 ll 使得 RR 仅位于直线一侧，但是 ll 必然与线段 PQPQ 相交

P,QP,Q 两点及与距它们充分近的点不可能被划分到同一侧，这就矛盾了

（2）若 RR 是由第一种定义确定的凸区域

假设 PP 是边界上任意一点，且 RR 中所有弦的集合记为 LL

那么以 PP 为顶点，存在一个尽量小的角 ∠APB\angle{APB} 使得 LL 中的所有线段都在 ∠APB\angle{APB} 内部

若 ∠APB>π\angle{APB}>\pi，则边界上存在两点 D,ED,E 使得 PP 位于线段 DEDE 上，这与 PP 在边界上矛盾

若 ∠APB=π\angle{APB}=\pi，那么 APBAPB 共线，该直线满足条件

若 ∠APB<π\angle{APB}<\pi，那么任何过点 PP 且不经过 ∠APB\angle{APB} 内部的直线满足条件

这样我们就证明了两个定义是等价的

而且现已证明，变换或放缩不改变区域的凸性

Theorem 37(闵可夫斯基定理)
任何面积大于 44 且关于原点对称的凸区域 RR，其内部除了 OO 还有其他 Λ\Lambda 中的点

10、Proof of Minkowski's theorem

首先我们先来证明一个更为简单的定理

Theorem 38
设 ROR_O 是包含原点 OO 的一个开区域，PP 是 Λ\Lambda 中的任意点，RPR_P 表示将 ROR_O 沿线段 OPOP 平移至 PP 点的区域，如果所有的 RPR_P 及 ROR_O 两两没有重叠区域，那么 ROR_O 的面积 Δ≤1\Delta\leq 1

如果 ROR_O 是一个以 x=±12,y=±12x=\pm\frac{1}{2},y=\pm\frac{1}{2} 为边界的方形区域，那么该定理显然成立

更一般的，设 ROR_O 的面积为 Δ\Delta，AA 表示 ROR_O 边界上的点到 OO 的最大距离

我们考虑 Λ\Lambda 中所有横纵坐标绝对值不超过 nn 的点 PP，以及对应的 (2n+1)2(2n+1)^2 个 RPR_P

我们发现这些区域不会超出以 OO 为中心边长为 2(n+A)2(n+A) 的正方形区域，因此

(2n+1)2Δ≤(2n+2A)2(2n+1)^2\Delta\leq (2n+2A)^2

得到

Δ≤(1+A−12n+12)2\Delta\leq (1+\frac{A-\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}})^2

令 n→∞n\rightarrow\infty，即 Δ≤1\Delta\leq 1，证毕

值得一提的是，Theorem 38 对区域的凸性与对称性没有要求

接下来是时候证明闵可夫斯基定理了，基于凸性的两种定义，他本人给出了两种证明

（1）采用第一定义，设 ROR_O 是 RR 关于 OO 点的 12\frac{1}{2} 倍线性放缩，那么 ROR_O 的面积大于 11，根据 Theorem 38，存在 RPR_P 与 ROR_O 有重叠部分，如图所示：

设 QQ 是重叠区域中的一点，作 Q′Q' 使得 OQ′OQ' 平行且等于 PQPQ

由于 ROR_O 与 PPP_P 全等，所以 Q′∈ROQ'\in R_O

作 Q′Q' 关于 OO 的对称点 Q′′Q''，由区域的对称性，Q′′∈ROQ''\in R_O

由凸性第一定义，QQ′′QQ'' 的中点必在 ROR_O 中

而这个中点同时也是 OPOP 的中点，那么还原放缩后得到 P∈RP\in R，证毕

（2）采用第二定义，假设 RR 中除了 OO 外没有其它格点，我们把 RR 关于 OO 点线性放缩，直至一格点 PP 出现在边界上，放缩后的区域记作 R′R'，如图所示：

由凸性第二定义，过点 PP 存在一条直线 l′l' 使得 R′R' 仅位于 l′l' 一侧

将 R′R' 关于 OO 点作 12\frac{1}{2} 倍线性放缩得到 ROR_O，那么过 OPOP 中点存在一条直线 l//l′l//l' 把 RO,RPR_O,R_P 置于 ll 两侧，因此 RO,RPR_O,R_P 没有重叠部分

而 ROR_O 的面积大于 11，这与 Theorem 38 矛盾，证毕

除了闵可夫斯基本人给出的证明，还有其它的有趣的可供选择的证明，其中最为简单的一个应该是 Mordell(莫德尔) 给出的证明

（3）设 RR 是关于 OO 对称的凸区域，P1(x1,y1),P2(x2,y2)∈RP_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\in R，设 P2P_2 关于 OO 的对称点为 P2′(−x2,−y2)P_2'(-x_2,-y_2)，那么 P1P2′P_1P_2' 中点 M(12(x1−x2),12(y1−y2))M(\frac{1}{2}(x_1-x_2),\frac{1}{2}(y_1-y_2))，且 M∈RM\in R

我们假设有无限多条直线 x=2pt,y=2qtx=\frac{2p}{t},y=\frac{2q}{t}，其中 p,qp,q 是任意整数，tt 是可以变化的参数

这些直线把平面分成了无限多个正方形，每个正方形面积为 4t2\frac{4}{t^2}，顶点坐标为 (2pt,2qt)(\frac{2p}{t},\frac{2q}{t})

设 N(t)N(t) 表示位于区域 RR 内的顶点个数，AA 表示区域 RR 的面积，那么显然有

lim⁡t→∞4N(t)t2=A\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{4N(t)}{t^2}=A

若 A>4A>4，那么对于足够大的 tt，有 N(t)>t2N(t)>t^2，由于数对 (x,y)(x,y) 除以 tt 的余数数对 (x%t,y%t)(x\%t,y\%t) 最多有 t2t^2 对，根据鸽巢原理，RR 中存在两点 P1(2p1t,2q1t),P2(2p2t,2q2t)P_1(\frac{2p_1}{t},\frac{2q_1}{t}),P_2(\frac{2p_2}{t},\frac{2q_2}{t}) 使得

t∣(p1−p2),t∣(q1−q2)t|(p_1-p_2),\quad t|(q_1-q_2)

因此 P1,P2P_1,P_2 对应的点 M(p1−p2t,q1−q2t)∈ΛM(\frac{p_1-p_2}{t},\frac{q_1-q_2}{t})\in\Lambda，证毕

值得一提的是，该证明属于构造性证明，不依赖于 Theorem 38，因此更为精妙

11、Development of Theorem 37(闵可夫斯基定理的推广)

我们把 Theorem 37 推广到任意网格上，得到的结果将会在第二十四章用到

之前我们研究的都是常用网格 LL 及常用点阵 Λ\Lambda 的性质，接下来我们把这些性质推广到一般的网格 L′L' 及对应点阵 Λ′\Lambda'，假设 L′L' 由 OP,OQOP,OQ 生成，我们把其确定的平行四边形 OPRQOPRQ 称为 fundamental parallelogram(基平行四边形)，那么推广如下：

（1）我们以 OP,OQOP,OQ 为轴建立笛卡尔斜坐标系，且 P(1,0),Q(0,1)P(1,0),Q(0,1)，那么对应的基平行四边形面积记作

δ=∣OP∣∣OQ∣sin⁡ω\delta=|OP||OQ|\sin\omega

其中 ω\omega 是 OP,OQOP,OQ 的夹角，那么用和之前同样的方法可以证明：

Theorem 39
Λ′\Lambda' 的变换为自身变换的充要条件为 Δ=±1\Delta=\pm 1

Theorem 40
设 Λ′\Lambda' 中的两点 P,QP,Q，那么 OP,OQOP,OQ 生成的网格 L′′L'' 与 L′L' 等价的充要条件是 O,P,QO,P,Q 确定的平行四边形的面积等于 Λ′\Lambda' 中基平行四边形的面积

（2）变换

x′=ax+by,y′=cx+dyx^{\prime}=ax+by, \quad y^{\prime}=cx+dy

（其中a,b,c,da,b,c,d是任意实数）将常用网格 LL 变换为了由 O,(a,c),(b,d)O,(a,c),(b,d) 三点生成的网格

我们考察该变换的性质，设变换前的一个三角形 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)，其面积为

±12∣x1y11x2y21x3y31∣\pm \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \\ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \\ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}\end{array}\right|

变换之后其面积为

±12∣ax1+by1cx1+dy11ax2+by2cx2+dy21ax3+by3cx3+dy31∣=±12(ad−bc)∣x1y11x2y21x3y31∣\pm \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll}{a x_{1}+b y_{1}} & {c x_{1}+d y_{1}} & {1} \\ {a x_{2}+b y_{2}} & {c x_{2}+d y_{2}} & {1} \\ {a x_{3}+b y_{3}} & {c x_{3}+d y_{3}} & {1}\end{array}\right|=\pm \frac{1}{2}(a d-b c) \left| \begin{array}{ccc}{x_{1}} & {y_{1}} & {1} \\ {x_{2}} & {y_{2}} & {1} \\ {x_{3}} & {y_{3}} & {1}\end{array}\right|

我们发现变换后面积乘上了一个常数因子 ∣ad−bc∣|ad-bc|，事实上不仅是三角形区域，任意形状的一个区域面积变化都是如此（用微积分的思想很容易证明）

因此，我们可以推广常用网格在线性变换中的性质，Theorem 38 的推广如下

Theorem 41
设 Λ′\Lambda' 是以 OO 为原点的任意点阵，ROR_O 满足 Theorem 38 中的条件，那么 ROR_O 的面积 Δ\Delta 不超过基平行四边形的面积 δ\delta

我们从头开始再次详细地证明这个定理，假设直线

x=±n,y=±nx=\pm n,\quad y=\pm n

注意，由于我们建立的是斜坐标系，因此这四条直线确定了一个大平行四边形，其面积为 4n2δ4n^2\delta，内部及边界上含有 (2n+1)2(2n+1)^2 个格点

同样设 (x,y)(x,y) 是 ROR_O 边界上一点，定义

A=max⁡(∣x∣,∣y∣)A=\max(|x|,|y|)

注意这里 AA 的定义与 Theorem 38 中的定义有异曲同工之妙

我们考虑这些格点对应的区域 RPR_P，它们全部位于由直线

x=±(n+A),y=±(n+A)x=\pm (n+A),\quad y=\pm (n+A)

确定的平行四边形内部，这个平行四边形面积为 4(n+A)2δ4(n+A)^2\delta

故我们有不等式

(2n+1)2Δ⩽4(n+A)2δ,Δ≤2n+2A2n+1δ(2 n+1)^{2} \Delta \leqslant 4(n+A)^{2} \delta,\quad \Delta\leq \frac{2n+2A}{2n+1}\delta

令 n→∞n \rightarrow \infty 得到

Δ⩽δ\Delta \leqslant \delta

接下来我们需要考虑边界情况 Δ=δ\Delta = \delta，假设 ROR_O 是平行四边形区域，由此得到的结论可满足第二十四章的要求

我们定义 L′L' 中的两个点 (x,y),(x′,y′)(x,y),(x',y') 等价（不一定是格点）当且仅当这两个点在对应的平行四边形中有相同的位置

具体一点，设 P(x1,y1),Q(x2,y2)P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)，由 OP,OQOP,OQ 生成的网格 L′L' 中两点 (x,y),(x′,y′)(x,y),(x',y') 等价的条件是（r,s∈Zr,s\in Z）

x′−x=rx1+sx2,y′−y=ry1+sy2x^{\prime}-x=r x_{1}+s x_{2}, \quad y^{\prime}-y=r y_{1}+s y_{2}

很容易发现，所有的格点都等价，据此，我们有

Theorem 42
如果 ROR_O 是平行四边形，且面积 Δ=δ\Delta=\delta，且 ROR_O 内部不存在两个等价点，那么对于平面上任意一点， ROR_O 及其边界上必定存在一点与之等价

ROR_O 内部不存在等价点的条件意味着不存在两个 RPR_P 相交

我们把闭区域记为 RP∗R_P^{*}，那么结论意味着所有的 RP∗R_P^{*} 覆盖了整个平面

因此我们要证明的东西就是：

如果 Δ=δ\Delta=\delta 且所有的 RPR_P 都不相交，那么所有的 RP∗R_P^{*} 覆盖了整个平面

假设定理不成立，即存在一个 QQ 不在任何一个 RP∗R_P^{*} 内，那么对于 QQ 所在的平行四边形中存在区域 DD 不属于任何 RP∗R_P^{*}，设其面积为 η\eta

在 L′L' 中所有的平行四边形中，都有一个与 DD 全等的区域

因此所有 RP∗R_P^{*} 的面积不超过

4(δ−η)(n+A+1)24(\delta-\eta)(n+A+1)^{2}

即

(2n+1)2δ⩽4(δ−η)(n+A+1)2(2 n+1)^{2} \delta \leqslant 4(\delta-\eta)(n+A+1)^{2}

令 n→∞n \rightarrow \infty 得到：

δ⩽δ−η\delta \leqslant \delta-\eta

这显然是一个矛盾式，证毕

最后，值得一提的是所有的这些定理都可以推广到更高维的空间，我们第二十四章会谈到