可逆条件的推广

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Problem 1  已知 $A,B,C,D$ 为同阶方阵，且 $A,C$ 可换，证明：
$\begin{vmatrix}A &B \\ C &D \end{vmatrix}=|AD-CB|$

证明：（1）若方阵 $A$ 可逆

$\begin{vmatrix}A &B \\ C &D \end{vmatrix}\overset{R_2-(A^{-1}C)R_1}{=} \begin{vmatrix}A &B \\ 0 &D-A^{-1}CB \end{vmatrix}=|AD-CB|$

其中 $C-A^{-1}CA=C-A^{-1}AC=0$

（2）若方阵 $A$ 不可逆

方阵 $A$ 不可逆时，总有充分大的 $t$ 使得 $|A+tE|\leq 0$，此时 $(A+tE)$ 可逆且 $(A+tE)$ 与 $C$ 可换

直接使用（1）的结论得到

$\begin{vmatrix}A+tE &B \\ C &D \end{vmatrix}=|(A+tE)D-CB|$

对一切充分大的 $t$ 两边的多项式恒等，所以对应系数相等

取 $t=0$ 得到两边多项式的常数项相等，即 $\begin{vmatrix}A &B \\ C &D \end{vmatrix}=|AD-CB|$

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注：（1）$f(t)=\begin{vmatrix}A+tE &B \\ C &D \end{vmatrix}$ 为 $n$ 次多项式，最多只有 $n$ 个实根

（2）若 $n$ 次多项式 $f(t)$ 最大实根为 $c$，当 $t>c$ 时 $f(t)\neq 0$，即对充分大的 $t$ 总有 $f(t)\neq 0$

（3）多项式 $f(t)=t^n+a_1 t^{n-1}\cdots a_{n-1}t+a_n$，取 $t=0$ 得到常数项 $f(0)=a_ n$

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Problem 2  已知 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A\sim B$ (相似)，证明：
$A^{*}\sim B^{*}$

证明：（1）若 $A,B$ 可逆

由于 $A\sim B$，所以 $|A|=|B|$，且存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$，因此

$B^{*}=|B|B^{-1}=|B|P^{-1}AP=|B|P^{-1}\frac{A^{*}}{|A|}P=P^{-1}A^{*}P$

故 $A^{*}\sim B^{*}$

（2）若 $A,B$ 不可逆

由于 $A\sim B$，所以 $|A|=|B|$，且存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$

总有充分大的 $t$ 使得 $(A+tE),(B+tE)$ 可逆，此时有 $B+tE=P^{-1}(A+tE)P$

直接使用（1）的结论得到

$(B+tE)^{*}=(A+tE)^{*}$

上式对充分大的 $t$ 恒成立，故两边矩阵恒等，矩阵中的每个元素都是关于 $t$ 的次数不超过 $n-1$ 的多项式，将两边矩阵按照多项式次数拆分，记 $C=(B+tE)^{*},D=(A+tE)^{*}$，则

$LHS=C_{n-1}t^{n-1}+C_{n-2}t^{n-2}+\cdots +C_1 t+C_0$

$RHS=D_{n-1}t^{n-1}+D_{n-2}t^{n-2}+\cdots +D_1 t+D_0$

所以拆分后两边多项式常数项相等，即取 $t=0$ 得到 $B=P^{-1}AP$，即 $A^{*}\sim B^{*}$