代数余子式之和

已知 nn 阶矩阵 AA 的每行元素之和均为 3(n>1)3(n>1) ， ∣A∣=6|A|=6 ，求 
∑i=1n∑j=1nAij\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}

答案    2n2n

方法一（和式变换）    

∑i=1n∑j=1nAij=13∑i=1n∑j=1nAij∑k=1naik=13∑i=1n∑j=1n(Aijaij+∑k=1,k≠jnAijaik)=13∑i=1n∑j=1nAijaij+13∑i=1n∑j=1n∑k=1nAijaik(j≠k)=13∑i=1n∑j=1nAijaij+13∑j=1n∑k=1n∑i=1nAijaik(j≠k)=13∑i=1n∣A∣=2n\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(A_{ij}a_{ij}+\sum_{k=1,k\neq j}^{n}A_{ij}a_{ik})\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}a_{ij}+\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}A_{ij}a_{ik}(j\neq k)\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}a_{ij}+\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A_{ij}a_{ik}(j\neq k)\\&=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n}|A|=2n\end{aligned}

方法二（构造矩阵）

设 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann]A=\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}，则显然有

A×[11⋯111⋯1⋮⋮⋮11⋯1]=[33⋯333⋯3⋮⋮⋮33⋯3]A\times \begin{bmatrix}1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &\cdots &1 \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 1 &1 &\cdots &1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 &3 &\cdots &3 \\ 3 &3 &\cdots &3 \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 3 &3 &\cdots &3\end{bmatrix}

由于 ∣A∣=6≠0|A|=6\neq 0 ，所以 AA 矩阵可逆，故有

[11⋯111⋯1⋮⋮⋮11⋯1]=A−1[33⋯333⋯3⋮⋮⋮33⋯3]\begin{bmatrix}1 &1 &\cdots &1 \\ 1 &1 &\cdots &1 \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 1 &1 &\cdots &1\end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}3 &3 &\cdots &3 \\ 3 &3 &\cdots &3 \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ 3 &3 &\cdots &3\end{bmatrix}

不妨设

A−1=[b11b12⋯b1nb21b22⋯b2n⋮⋮⋮bn1bn2⋯bnn]A^{-1}=\begin{bmatrix}b_{11} &b_{12} &\cdots &b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} &\cdots &b_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ b_{n1} &b_{n2} &\cdots &b_{nn}\end{bmatrix}

根据矩阵乘法的定义，对于第 kk 行可以得到

∑i=1nbik=13\sum_{i=1}^{n}b_{ik}=\frac{1}{3}

即 A−1A^{-1} 每行元素之和均为 13\frac{1}{3}，而

A∗=∣A∣A−1=6A−1A^{\ast}=|A|A^{-1}=6A^{-1}

故

Ans=6∑k=1n∑i=1nAij−1=2nAns=6\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}A^{-1}_{ij}=2n

通过这道题，我们注意到求代数余子式之和通常有两种方法：

（1）通过

∑i=1naikAij={D,j=k0,j≠k或∑j=1najkAij={D,i=k0,i≠k\sum_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ij}=\left\{\begin{matrix}D, &j=k \\ 0, &j\neq k \end{matrix}\right. 或 \sum_{j=1}^{n}a_{jk}A_{ij}=\left\{\begin{matrix}D, &i=k \\ 0, &i\neq k \end{matrix}\right. 进行和式变换求解

（2）从伴随矩阵入手，利用 A∗=∣A∣A−1A^{\ast}=|A|A^{-1} 转化为逆矩阵求解