压缩映像原理

一、压缩映像原理

设数列 xn{x_n} 满足下列两种压缩性条件之一：

（1）∣xn+1−xn∣⩽t∣xn−xn−1∣|x_{n+1}-x_n|\leqslant t|x_{n}-x_{n-1}|

（2）∣xn+1−A∣⩽t∣xn−A∣|x_{n+1}-A|\leqslant t|x_{n}-A|（AA 是数列极限值）

其中 t∈(0,1),n>1t\in(0,1),n>1，则数列 xn{x_n} 必定收敛

证明：我们用柯西收敛准则来证明该原理的第一条（第二条的证明是类似的）

对于任意的 ε>0\varepsilon >0，若 ∣xn+1−xn∣⩽t∣xn−xn−1∣|x_{n+1}-x_n|\leqslant t|x_{n}-x_{n-1}|，则有

∣xn+p−xn∣<t∣xn+p−1−xn−1∣<...<tn−1∣xp+1−x1∣<ε|x_{n+p}-x_n|<t|x_{n+p-1}-x_{n-1}|<...<t^{n-1}|x_{p+1}-x_{1}|<\varepsilon

取 N=[logtε∣xp+1−x1∣]+2N=\left [ log_t \frac{\varepsilon}{|x_{p+1}-x_1|}\right ]+2，当 n>Nn>N 时，恒有

∣xn+p−xn∣<ε|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon

根据柯西收敛准则，该数列收敛

二、练习题目

已知 x1=a(a>0)，xn+1=xn+2xn+1x_1 =a(a>0)，x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}，证明：数列 {xn}\{x_n\} 收敛

证明：由于

xn+1=xn+2xn+1=1+1xn+1x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}=1+\frac{1}{x_n+1}

且 x1>0x_1>0，故 xn>1x_n>1，于是有：

∣xn+1−xn∣=∣xn+2xn+1−xn−1+2xn−1+1∣=∣xn−xn−1∣(xn+1)(xn−1+1)<14∣xn−xn−1∣\begin{aligned}\left|x_{n+1}-x_{n}\right| &=\left|\frac{x_{n}+2}{x_{n}+1}-\frac{x_{n-1}+2}{x_{n-1}+1}\right| \\ &=\frac{\left|x_{n}-x_{n-1}\right|}{\left(x_{n}+1\right)\left(x_{n-1}+1\right)} \\ &<\frac{1}{4}\left|x_{n}-x_{n-1}\right| \end{aligned}

由压缩映像原理可知数列 xn{x_n} 收敛